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$\begin{aligned} I= &\int_0^{2\pi}\ln(a\sin x+b\cos x)^2\text{d}x\\ =&\int_0^{2\pi}\ln\left[(a^2+b^2) \cdot\sin^2(x+\theta)\right]\text{d}x\\ =&2\pi\ln(a^2+b^2)+\int_0^{2\pi}\ln\sin^2t\text{d}t\\ =&2\pi\ln(a^2+b^2)+4\cdot2\int_0^{\frac\pi2}\ln\sin t\text{d}t\\ =&2\pi\ln(a^2+b^2)+8(-\dfrac{\pi}{2}\ln2)\\ =&2\pi\ln(\dfrac{a^2+b^2}{4}) \end{aligned}$

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$\eqalign{ & \sin 2nx \cr & = \sin 2nx - \sin 2\left( {n - 1} \right)x + \sin 2\left( {n - 1} \right)x - \sin 2\left( {n - 2} \right)x + \cdots - \sin 2x + \sin 2x - 0 \cr & = \sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\sin 2kx - \sin 2\left( {k - 1} \right)x} \right]} \cr & = 2\sum\limits_{k = 1}^n {\left[ {\cos \left( {{{4k - 2} \over 2}x} \right) \cdot \sin x} \right]} \cr & = 2\sin x\sum\limits_{k = 1}^n {\cos \left( {2k - 1} \right)x} \cr}$

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