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$\def\d{\mathrm d} \begin{align} \int\sin^2x\cos^4x\d x &=\int\cos^4x\d x-\int\cos^6x\d x\\ &=\int\cos^4x\d x-\frac16\sin x\cos^5x-\frac56\int\cos^4x\d x\\ &=\frac16\left(\frac14\sin x\cos^3x+\frac34\int\cos^2x\d x\right)-\frac16\sin x\cos^5x\\ &=\frac18\left(\frac12\sin x\cos x+\frac12\int\d x\right)+\frac1{24}\sin x\cos^3x-\frac16\sin x\cos^5x\\ &=\frac x{16}+\frac1{16}\sin x\cos x+\frac1{24}\sin x\cos^3x-\frac16\sin x\cos^5x+C \end{align}\\$

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$\begin{align} \int \sin^4x\cos ^4x\,\mathrm{d}x&=\int (\frac{\sin 2x}{2})^4\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{16}\int (\frac{1-\cos 4x}{2})^2\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{1}{64}\int (1-2\cos 4x+\cos ^24x)\,\mathrm{d}x\\ &=\frac{3}{128}x-\frac{\sin 4x}{128}+\frac{1}{1024}\sin 8x+C \end{align}$

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$\begin{align} \int \sin^2x\cos ^4x\,\mathrm{d}x &=-\frac{1}{5}\int \sin x \,\mathrm{d}(\cos ^5x)\\ &=-\frac{1}{5}\sin x\cos ^5x+\frac{1}{5}\int\cos ^6x\,\mathrm{d}x\\ &=-\frac{1}{5}\sin x\cos ^5x+\frac{1}{5}(\frac{5}{16}x+-\frac{1}{4}\sin 2x+\frac{3}{64}\sin 4x+\frac{1}{48}\sin ^32x)+C \end{align}$

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$\def\d{\mathrm d} \begin{align} I_n=\int\sin^nx\d x &=\int\sin^{n-1}\d(-\cos x)\\ &=-\cos x\sin^{n-1}x-\int(-\cos x)\left[(n-1)\sin^{n-2}x\cos x\right]\d x\\ &=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)\int\cos^2 x\sin^{n-2}x\d x\\ &=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)\int\left(\sin^{n-2}x-\sin^nx\right)\d x\\ &=-\cos x\sin^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n\\ I_n&=-\frac1n\cos x\sin^{n-1}x+\frac{n-1}nI_{n-2}\\ J_n=\int\cos^nx\d x&=\int\cos^{n-1}\d\sin x\\ &=\sin x\cos^{n-1}x-\int\sin x\left[(n-1)(-\cos^{n-2}x\sin x)\right]\d x\\ &=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int\sin^2x\cos^{n-2}x\d x\\ &=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)\int\left(\cos^{n-2}x-\cos^nx\right)\d x\\ &=\sin x\cos^{n-1}x+(n-1)J_{n-2}-(n-1)J_n\\ J_n&=\frac1n\sin x\cos^{n-1}x+\frac{n-1}nJ_{n-2} \end{align}\\$

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$\int\frac{\mathrm dx}{\sin^4x\cos^2x}\\ =\int\csc^4x\sec^2x\mathrm dx\\ =\int\csc^4x(\tan^2x+1)\mathrm dx\\ =\int\csc^4x\tan^2x\mathrm dx+\int\csc^4x\mathrm dx\\$

请教一下下式的不定积分是什么知乎

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$\begin{align} \int \frac{1}{\sin^4x\cos ^2x}\,\mathrm{d}x&=\int \sin ^{-4}x\cos ^{-2}x\,\mathrm{d}x\\ &=\int \frac{(1+t^2)^2}{t^4}\,\mathrm{d}t\\ &=t-\frac{2}{t}-\frac{1}{3t^3}+C\\ &=\tan x-2\cot x-\frac{1}{3}\cot^3x+C \end{align}$

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