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$\begin{aligned} F &=\frac{W}{J} \frac{\sigma^{2}}{s^{2}} \\ &=\left(\frac{(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})^{\prime}\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{R}^{\prime}\right]^{-1}(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})}{\sigma^{2}}\right)\left(\frac{1}{J}\right)\left(\frac{\sigma^{2}}{s^{2}}\right)\left(\frac{(n-K)}{(n-K)}\right) \\ &=\frac{(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})^{\prime}\left[\sigma^{2} \mathbf{R}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{R}^{\prime}\right]^{-1}(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q}) / J}{\left[(n-K) s^{2} / \sigma^{2}\right] /(n-K)} \end{aligned}$

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$\begin{aligned} W &=\mathbf{m}^{\prime}\{\operatorname{Var}[\mathbf{m} | \mathbf{X}]\}^{-1} \mathbf{m} \\ &=(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})^{\prime}\left[\sigma^{2} \mathbf{R}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{R}^{\prime}\right]^{-1}(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q}) \\ &=\frac{(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})^{\prime}\left[\mathbf{R}\left(\mathbf{X}^{\prime} \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{R}^{\prime}\right]^{-1}(\mathbf{R} \mathbf{b}-\mathbf{q})}{\sigma^{2}} \\ & \sim \chi^{2}[J] \end{aligned}$

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