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$2$\displaystyle\int_{1}^{2}x\log (x+1)dx \\=\displaystyle\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{2}x^{2}\right)'\log (x+1)dx \\=\left[\frac{1}{2}x^{2}\log (x+1)\right]_{0}^{1}-\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{x+1}dx \\=\frac{1}{2}\log 2-\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\left(x-1-\frac{1}{x+1}\right)dx \\=\frac{1}{2}\log 2 -\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}(x-1)^{2}-\log (x+1)\right]_{1}^{2} \\=\frac{\log 3}{2}-\frac{1}{4}$

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Logの後がなんでカッコの時と絶対値の時があるのかわからないです

$3$\displaystyle{\begin{array}{lll} { \int $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ }^{\prime }\log xdx & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\log x- \int $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ { $ \log x $ }^{\prime }dx & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\log x- \int $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}} $ \cdot \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}dx & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\log x- \int $ - \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2} {x}^{2} \hspace{2}} $ dx & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}\log x- \frac{\hspace{2}1\hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+C & \vspace{6}\\ & =- \frac{\hspace{2} 1- \log x \hspace{2}}{\hspace{2}x\hspace{2}}+C & \vspace{6}\\ \end{array}}$

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