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$\vec{a}\times\vec{b}\\=\left|\begin{array}{ccc}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\\=\left|\begin{array}{cc}a_{2}&a_{3}\\b_{2}&b_{3}\end{array}\right|\vec{i}-\left|\begin{array}{cc}a_{1}&a_{3}\\b_{1}&b_{3}\end{array}\right|\vec{j}+\left|\begin{array}{cc}a_{1}&a_{2}\\b_{1}&b_{2}\end{array}\right|\vec{k}\\=(a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2})\vec{i}-(a_{1}b_{3}-a_{3}b_{1})\vec{j}+(a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1})\vec{k}\\=\left(\begin{array}{c}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{array}\right)$

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